実数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ を $a_n = (-1)^n a$ で定義する。ここで $a$ は正の実数である。この数列が収束しないことを示すための証明の空欄（ア〜エ）を埋める問題である。

1. 問題の内容

実数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ を $a_n = (-1)^n a$ で定義する。ここで $a$ は正の実数である。この数列が収束しないことを示すための証明の空欄（ア〜エ）を埋める問題である。

2. 解き方の手順

ア：数列 $\{a_n\}$ が $\alpha$ に収束すると仮定する。収束の定義より、任意の正の実数 $\epsilon$ に対して、ある自然数 $N$ が存在し、$N$ 以上のすべての自然数 $n$ に対して $|a_n - \alpha| < \epsilon$ が成り立つ。特に、正の実数 $a$ に対して、$a$ は正の実数であるから $\epsilon$ として $a$ を選ぶことができる。したがって、アには「自然数 $N$」が入る。

イ：上記より、$N$ 以上の自然数 $n$ に対して $|a_n - \alpha| < a$ が成り立つ。証明の流れから、$N_0$ 以上の自然数 $n$ に対して $|a_n - \alpha| < a$ が成り立つようにするため、$N_0$以上の「自然数 $n$」が入る。

ウ：絶対値の三角不等式 $|x+y| \le |x| + |y|$ を用いる。

$|a_{2n} - \alpha| + |a_{2n+1} - \alpha| = |a_{2n} - \alpha| + |\alpha - a_{2n+1}| \ge | (a_{2n} - \alpha) + (\alpha - a_{2n+1}) |$

よって、ウには「$\le$」が入る。

エ：

$|a_{2n} - a_{2n+1}| = |(-1)^{2n}a - (-1)^{2n+1}a| = |a - (-a)| = |2a| = 2a$

したがって、エには「$2a$」が入る。

$|a_{2n} - \alpha| + |a_{2n+1} - \alpha| \ge |(a_{2n} - \alpha) + (\alpha - a_{2n+1})| = |a_{2n} - a_{2n+1}| = 2a$

一方、$N_0$ 以上のすべての $n$ に対して $|a_{2n} - \alpha| + |a_{2n+1} - \alpha| < a + a = 2a$ が成り立つ。

これは矛盾である。

3. 最終的な答え

ア：自然数 $N_0$

イ：自然数 $n$

ウ：$\le$

エ：$2a$