与えられた関数 $f(x)$ が、指定された $x$ の値で微分可能かどうかを調べる。 (1) $f(x) = |(x-1)^3|$ ($x=1$) (2) $f(x) = x[x]$ ($x=0$) (ここで$[x]$はガウス記号を表す)

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ が、指定された $x$ の値で微分可能かどうかを調べる。

(1) $f(x) = |(x-1)^3|$ ($x=1$)

(2) $f(x) = x[x]$ ($x=0$) (ここで$[x]$はガウス記号を表す)

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = |(x-1)^3|$ について、$x=1$ での微分可能性を調べる。

$x=1$ の近くで、$x-1$ の符号によって場合分けする。

* $x > 1$ のとき、$f(x) = (x-1)^3$ となり、$f'(x) = 3(x-1)^2$。したがって、右側極限は、

$$\lim_{x \to 1+0} \frac{f(x) - f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1+0} \frac{(x-1)^3 - 0}{x-1} = \lim_{x \to 1+0} (x-1)^2 = 0$$

* $x < 1$ のとき、$f(x) = -(x-1)^3$ となり、$f'(x) = -3(x-1)^2$。したがって、左側極限は、

$$\lim_{x \to 1-0} \frac{f(x) - f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1-0} \frac{-(x-1)^3 - 0}{x-1} = \lim_{x \to 1-0} -(x-1)^2 = 0$$

右側極限と左側極限が一致するので、$x=1$ で微分可能。

(2) $f(x) = x[x]$ について、$x=0$ での微分可能性を調べる。

$x=0$ の近くで、$x$ の値によって場合分けする。

* $x > 0$ のとき、$0 < x < 1$ ならば $[x]=0$ なので、$f(x) = x \cdot 0 = 0$。したがって、右側極限は、

$$\lim_{x \to 0+0} \frac{f(x) - f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0+0} \frac{0 - 0}{x} = 0$$

* $x < 0$ のとき、$-1 < x < 0$ ならば $[x]=-1$ なので、$f(x) = x \cdot (-1) = -x$。したがって、左側極限は、

$$\lim_{x \to 0-0} \frac{f(x) - f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0-0} \frac{-x - 0}{x} = -1$$

右側極限と左側極限が一致しないので、$x=0$ で微分不可能。

3. 最終的な答え

(1) $x=1$ で微分可能である。

(2) $x=0$ で微分不可能である。