領域 $D = \{(x, y) | 0 \le x+y \le 2, 0 \le x-y \le 2\}$ における重積分 $\iint_D 2(x-y)e^{x+y} \, dy \, dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) | 0 \le x+y \le 2, 0 \le x-y \le 2\}$ における重積分 $\iint_D 2(x-y)e^{x+y} \, dy \, dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

変数変換を行います。

$u = x+y$

$v = x-y$

とすると、

$x = \frac{u+v}{2}$

$y = \frac{u-v}{2}$

となります。

ヤコビアンは

$\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{vmatrix} = -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}$

よって、$\left| \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} \right| = \frac{1}{2}$ となります。

積分は

$\iint_D 2(x-y)e^{x+y} \, dy \, dx = \int_0^2 \int_0^2 2v e^u \left| -\frac{1}{2} \right| \, du \, dv = \int_0^2 \int_0^2 v e^u \, du \, dv$

となります。

まず $u$ に関する積分を行います。

$\int_0^2 ve^u \, du = v \int_0^2 e^u \, du = v [e^u]_0^2 = v (e^2 - 1)$

次に $v$ に関する積分を行います。

$\int_0^2 v(e^2 - 1) \, dv = (e^2 - 1) \int_0^2 v \, dv = (e^2 - 1) \left[ \frac{1}{2} v^2 \right]_0^2 = (e^2 - 1) \frac{1}{2} (4 - 0) = 2(e^2 - 1)$

3. 最終的な答え

$2e^2 - 2$