次の3つの関数をそれぞれ微分する問題です。 (1) $y = \sin 5x \cos 5x$ (2) $y = x - 2x \cos^2 x$ (3) $y = \sin^3 x \cos^3 x$

1. 問題の内容

次の3つの関数をそれぞれ微分する問題です。

(1) $y = \sin 5x \cos 5x$

(2) $y = x - 2x \cos^2 x$

(3) $y = \sin^3 x \cos^3 x$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin 5x \cos 5x$ の微分

三角関数の積の公式を使うと計算が楽になります。

$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ より、$y = \frac{1}{2} \sin 10x$

$y' = \frac{1}{2} \cos 10x \cdot 10 = 5 \cos 10x$

(2) $y = x - 2x \cos^2 x$ の微分

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$y' = 1 - 2(\cos^2 x + x \cdot 2 \cos x (-\sin x))$

$y' = 1 - 2 \cos^2 x + 4x \cos x \sin x$

$y' = 1 - 2 \cos^2 x + 2x \sin 2x$

ここで、$1 - 2 \cos^2 x = - \cos 2x$ なので、

$y' = - \cos 2x + 2x \sin 2x$

(3) $y = \sin^3 x \cos^3 x$ の微分

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$y' = 3 \sin^2 x \cos x \cdot \cos^3 x + \sin^3 x \cdot 3 \cos^2 x (-\sin x)$

$y' = 3 \sin^2 x \cos^4 x - 3 \sin^4 x \cos^2 x$

$y' = 3 \sin^2 x \cos^2 x (\cos^2 x - \sin^2 x)$

$y' = 3 \sin^2 x \cos^2 x \cos 2x$

ここで、$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$ なので、

$y' = 3 (\frac{1}{2} \sin 2x)^2 \cos 2x = \frac{3}{4} \sin^2 2x \cos 2x$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 5 \cos 10x$

(2) $y' = - \cos 2x + 2x \sin 2x$

(3) $y' = \frac{3}{4} \sin^2 2x \cos 2x$