与えられた6つの関数をそれぞれ微分する問題です。 (1) $y = \frac{1}{x^4}$ (2) $s = \frac{2}{t^5}$ (3) $y = 2x^{-3} + 3x^{-4}$ (4) $s = 2t^3 + \frac{1}{t^2}$ (5) $y = \frac{x + x^{-1}}{2}$ (6) $y = \frac{x^3}{3} + \frac{1}{x^3}$

1. 問題の内容

与えられた6つの関数をそれぞれ微分する問題です。

(1) $y = \frac{1}{x^4}$

(2) $s = \frac{2}{t^5}$

(3) $y = 2x^{-3} + 3x^{-4}$

(4) $s = 2t^3 + \frac{1}{t^2}$

(5) $y = \frac{x + x^{-1}}{2}$

(6) $y = \frac{x^3}{3} + \frac{1}{x^3}$

2. 解き方の手順

基本的な微分の公式 $\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$ を用います。

また、$\frac{1}{x^n} = x^{-n}$ を利用して、関数の形を整えてから微分を行います。

(1) $y = \frac{1}{x^4} = x^{-4}$

$\frac{dy}{dx} = -4x^{-5} = -\frac{4}{x^5}$

(2) $s = \frac{2}{t^5} = 2t^{-5}$

$\frac{ds}{dt} = 2(-5)t^{-6} = -10t^{-6} = -\frac{10}{t^6}$

(3) $y = 2x^{-3} + 3x^{-4}$

$\frac{dy}{dx} = 2(-3)x^{-4} + 3(-4)x^{-5} = -6x^{-4} - 12x^{-5} = -\frac{6}{x^4} - \frac{12}{x^5}$

(4) $s = 2t^3 + \frac{1}{t^2} = 2t^3 + t^{-2}$

$\frac{ds}{dt} = 2(3)t^2 + (-2)t^{-3} = 6t^2 - 2t^{-3} = 6t^2 - \frac{2}{t^3}$

(5) $y = \frac{x + x^{-1}}{2} = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x^{-1}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(1) + \frac{1}{2}(-1)x^{-2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2x^2} = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{x^2})$

(6) $y = \frac{x^3}{3} + \frac{1}{x^3} = \frac{1}{3}x^3 + x^{-3}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}(3)x^2 + (-3)x^{-4} = x^2 - 3x^{-4} = x^2 - \frac{3}{x^4}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = -\frac{4}{x^5}$

(2) $\frac{ds}{dt} = -\frac{10}{t^6}$

(3) $\frac{dy}{dx} = -\frac{6}{x^4} - \frac{12}{x^5}$

(4) $\frac{ds}{dt} = 6t^2 - \frac{2}{t^3}$

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2x^2}$

(6) $\frac{dy}{dx} = x^2 - \frac{3}{x^4}$