与えられた関数について、$x=2$ における微分係数を、定義に従って求めます。関数は2つあります。 (1) $f(x) = \frac{1}{x+4}$ (2) $f(x) = -\sqrt{x}$

1. 問題の内容

与えられた関数について、$x=2$ における微分係数を、定義に従って求めます。関数は2つあります。

(1) $f(x) = \frac{1}{x+4}$

(2) $f(x) = -\sqrt{x}$

2. 解き方の手順

微分係数の定義は以下の通りです。

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

(1) $f(x) = \frac{1}{x+4}$ の場合

$f(2) = \frac{1}{2+4} = \frac{1}{6}$

$f(2+h) = \frac{1}{2+h+4} = \frac{1}{6+h}$

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{6+h} - \frac{1}{6}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{6 - (6+h)}{6(6+h)}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{6h(6+h)} = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{6(6+h)} = \frac{-1}{6(6+0)} = -\frac{1}{36}$

(2) $f(x) = -\sqrt{x}$ の場合

$f(2) = -\sqrt{2}$

$f(2+h) = -\sqrt{2+h}$

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-\sqrt{2+h} - (-\sqrt{2})}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-\sqrt{2+h} + \sqrt{2}}{h}$

分子を有理化します。

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{(-\sqrt{2+h} + \sqrt{2})(\sqrt{2+h} + \sqrt{2})}{h(\sqrt{2+h} + \sqrt{2})} = \lim_{h \to 0} \frac{-(2+h) + 2}{h(\sqrt{2+h} + \sqrt{2})} = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h(\sqrt{2+h} + \sqrt{2})} = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{\sqrt{2+h} + \sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2+0} + \sqrt{2}} = \frac{-1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $f'(2) = -\frac{1}{36}$

(2) $f'(2) = -\frac{\sqrt{2}}{4}$