関数 $y = \frac{x+x^{-1}}{2}$ の導関数を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x+x^{-1}}{2}$ の導関数を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x^{-1}$を$\frac{1}{x}$と書き換える。

$y = \frac{x + \frac{1}{x}}{2}$

次に、$\frac{1}{2}$を外に出す。

$y = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{x})$

次に、微分する。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{x^2})$

最後に、整理する。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} (1 - x^{-2})$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2x^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2x^2}$

あるいは、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(1-x^{-2})$

あるいは、

$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 - 1}{2x^2}$