次の関数を微分せよ。ただし、$x > 0$ とする。 (1) $y = (x-1)\sqrt{x}$ (2) $y = \frac{\sqrt{x}}{x+2}$

1. 問題の内容

次の関数を微分せよ。ただし、$x > 0$ とする。

(1) $y = (x-1)\sqrt{x}$

(2) $y = \frac{\sqrt{x}}{x+2}$

2. 解き方の手順

(1) $y = (x-1)\sqrt{x}$ の微分

まず、$y = (x-1)\sqrt{x}$ を展開します。

$y = x\sqrt{x} - \sqrt{x} = x^{3/2} - x^{1/2}$

次に、各項を微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{3/2}) - \frac{d}{dx}(x^{1/2})$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}x^{1/2} - \frac{1}{2}x^{-1/2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}\sqrt{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$

通分して整理します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{3x - 1}{2\sqrt{x}}$

(2) $y = \frac{\sqrt{x}}{x+2}$ の微分

商の微分公式 $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = \sqrt{x} = x^{1/2}$, $v = x+2$ とおくと、

$u' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, $v' = 1$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+2) - \sqrt{x}(1)}{(x+2)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{x+2}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x}}{(x+2)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{x+2 - 2x}{2\sqrt{x}}}{(x+2)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2-x}{2\sqrt{x}(x+2)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{3x-1}{2\sqrt{x}}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{2-x}{2\sqrt{x}(x+2)^2}$