与えられた微分方程式 $(1+x^2)\frac{dy}{dx}=xy+1$ の一般解を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $(1+x^2)\frac{dy}{dx}=xy+1$ の一般解を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式を整理します。

$(1+x^2)\frac{dy}{dx} = xy+1$

$\frac{dy}{dx} = \frac{xy+1}{1+x^2}$

$\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1+x^2}y = \frac{1}{1+x^2}$

これは線形微分方程式の形をしています。つまり、$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ の形です。

ここで、 $P(x) = -\frac{x}{1+x^2}$ 、 $Q(x) = \frac{1}{1+x^2}$ となります。

次に、積分因子 $I(x)$ を求めます。

$I(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{x}{1+x^2} dx}$

$\int -\frac{x}{1+x^2} dx$ を計算します。

$u = 1+x^2$ とおくと、$du = 2x dx$ より $x dx = \frac{1}{2} du$

したがって、

$\int -\frac{x}{1+x^2} dx = \int -\frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = -\frac{1}{2} \ln |u| = -\frac{1}{2} \ln (1+x^2) = \ln (1+x^2)^{-\frac{1}{2}}$

よって、

$I(x) = e^{\ln (1+x^2)^{-\frac{1}{2}}} = (1+x^2)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

微分方程式の一般解は次のようになります。

$y \cdot I(x) = \int Q(x) \cdot I(x) dx + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

$y \cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = \int \frac{1}{1+x^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx + C$

$y = \sqrt{1+x^2} \int \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} dx + C\sqrt{1+x^2}$

$\int \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} dx$ を計算します。

$x = \tan \theta$ とおくと、$dx = \sec^2 \theta d\theta$

$1+x^2 = 1+\tan^2 \theta = \sec^2 \theta$

$\int \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} dx = \int \frac{\sec^2 \theta}{(\sec^2 \theta)^{3/2}} d\theta = \int \frac{\sec^2 \theta}{\sec^3 \theta} d\theta = \int \frac{1}{\sec \theta} d\theta = \int \cos \theta d\theta = \sin \theta + C'$

$\sin \theta = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ より、

$\int \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} dx = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} + C'$

したがって、

$y = \sqrt{1+x^2} \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} + C\sqrt{1+x^2}$

$y = x + C\sqrt{1+x^2}$

3. 最終的な答え

$y = x + C\sqrt{1+x^2}$