$\int x \sin x \, dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int x \sin x \, dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を使って解きます。部分積分の公式は、

$$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$

です。

$u = x$ と $dv = \sin x \, dx$ とおくと、

$du = dx$

$v = \int \sin x \, dx = -\cos x$

となります。

したがって、

$$\int x \sin x \, dx = x(-\cos x) - \int (-\cos x) \, dx$$

$$= -x \cos x + \int \cos x \, dx$$

$$= -x \cos x + \sin x + C$$

ここで、$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$-x \cos x + \sin x + C$