問題8は、与えられた関数について、$n=3$ のマクローリン公式を求め、それを用いて近似値を計算する問題です。問題9は、オイラーの公式を用いて複素数を $a+bi$ の形で表す問題です。具体的には、 問題8(1)では、$f(x) = \sqrt{1+3x}$ と $f(x) = \log(1+x^2)$ のマクローリン展開を3次まで求めます。 問題8(2)では、問題8(1)で求めたマクローリン公式を用いて、$\sqrt{1.3}$ と $\log 1.01$ の近似値を求めます。 問題9(1)では、$e^{\frac{5}{4}\pi i}$ を計算します。 問題9(2)では、$e^{-1+\frac{\pi}{3}i}$ を計算します。

1. 問題の内容

問題8は、与えられた関数について、$n=3$ のマクローリン公式を求め、それを用いて近似値を計算する問題です。問題9は、オイラーの公式を用いて複素数を $a+bi$ の形で表す問題です。具体的には、

問題8(1)では、$f(x) = \sqrt{1+3x}$ と $f(x) = \log(1+x^2)$ のマクローリン展開を3次まで求めます。

問題8(2)では、問題8(1)で求めたマクローリン公式を用いて、$\sqrt{1.3}$ と $\log 1.01$ の近似値を求めます。

問題9(1)では、$e^{\frac{5}{4}\pi i}$ を計算します。

問題9(2)では、$e^{-1+\frac{\pi}{3}i}$ を計算します。

2. 解き方の手順

**問題8(1)(a)**

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りでテイラー展開したものです。3次のマクローリン展開は以下のようになります。

$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3$

$f(x) = \sqrt{1+3x} = (1+3x)^{1/2}$

$f(0) = 1$

$f'(x) = \frac{1}{2}(1+3x)^{-1/2} \cdot 3 = \frac{3}{2}(1+3x)^{-1/2}$

$f'(0) = \frac{3}{2}$

$f''(x) = \frac{3}{2} \cdot (-\frac{1}{2})(1+3x)^{-3/2} \cdot 3 = -\frac{9}{4}(1+3x)^{-3/2}$

$f''(0) = -\frac{9}{4}$

$f'''(x) = -\frac{9}{4} \cdot (-\frac{3}{2})(1+3x)^{-5/2} \cdot 3 = \frac{81}{8}(1+3x)^{-5/2}$

$f'''(0) = \frac{81}{8}$

よって、$f(x)$ の3次のマクローリン展開は、

$f(x) \approx 1 + \frac{3}{2}x - \frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2}x^2 + \frac{81}{8} \cdot \frac{1}{6}x^3 = 1 + \frac{3}{2}x - \frac{9}{8}x^2 + \frac{27}{16}x^3$

**問題8(1)(b)**

$f(x) = \log(1+x^2)$

$f(0) = \log(1) = 0$

$f'(x) = \frac{2x}{1+x^2}$

$f'(0) = 0$

$f''(x) = \frac{2(1+x^2) - 2x(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{2-2x^2}{(1+x^2)^2}$

$f''(0) = 2$

$f'''(x) = \frac{-4x(1+x^2)^2 - (2-2x^2) \cdot 2(1+x^2) \cdot 2x}{(1+x^2)^4} = \frac{-4x(1+x^2) - 4x(2-2x^2)}{(1+x^2)^3} = \frac{-4x-4x^3 - 8x+8x^3}{(1+x^2)^3} = \frac{4x^3-12x}{(1+x^2)^3}$

$f'''(0) = 0$

よって、$f(x)$ の3次のマクローリン展開は、

$f(x) \approx 0 + 0x + \frac{2}{2}x^2 + 0x^3 = x^2$

**問題8(2)**

(a) $\sqrt{1.3} = \sqrt{1 + 3(0.1)}$ なので、$x=0.1$ を問題8(1)(a)で求めたマクローリン展開に代入します。

$\sqrt{1.3} \approx 1 + \frac{3}{2}(0.1) - \frac{9}{8}(0.1)^2 + \frac{27}{16}(0.1)^3 = 1 + 0.15 - 0.01125 + 0.0016875 = 1.1404375$

(b) $\log 1.01 = \log(1 + (0.1)^2)$ なので、$x^2=0.01$, $x=0.1$ を問題8(1)(b)で求めたマクローリン展開に代入します。

$\log 1.01 \approx (0.1)^2 = 0.01$

**問題9(1)**

オイラーの公式は、$e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ です。

$e^{\frac{5}{4}\pi i} = \cos(\frac{5}{4}\pi) + i \sin(\frac{5}{4}\pi) = \cos(225^{\circ}) + i \sin(225^{\circ}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$

**問題9(2)**

$e^{-1+\frac{\pi}{3}i} = e^{-1} \cdot e^{\frac{\pi}{3}i} = e^{-1}(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3})) = \frac{1}{e}(\cos(60^{\circ}) + i\sin(60^{\circ})) = \frac{1}{e}(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{2e} + i\frac{\sqrt{3}}{2e}$

3. 最終的な答え

問題8(1)(a): $f(x) \approx 1 + \frac{3}{2}x - \frac{9}{8}x^2 + \frac{27}{16}x^3$

問題8(1)(b): $f(x) \approx x^2$

問題8(2)(a): $\sqrt{1.3} \approx 1.1404375$

問題8(2)(b): $\log 1.01 \approx 0.01$

問題9(1): $-\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$

問題9(2): $\frac{1}{2e} + i\frac{\sqrt{3}}{2e}$