実数列 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ を $a_n = (-1)^n a$ で定義する。この数列が収束しないことを示す証明における空欄ア～エを埋める問題。

1. 問題の内容

実数列 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ を $a_n = (-1)^n a$ で定義する。この数列が収束しないことを示す証明における空欄ア～エを埋める問題。

2. 解き方の手順

ア：数列 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ が実数 $\alpha$ に収束すると仮定する。定義より、任意の正の実数 $\epsilon$ に対して、ある自然数 $N$ が存在し、$N$ 以上のすべての自然数 $n$ に対して $|a_n - \alpha| < \epsilon$ が成り立つ。したがって、アには「ある」が入る。

イ：$N$ 以上のすべての自然数 $n$ に対して不等式が成り立つことから、$N_0$ 以上のすべての自然数 $n$ に対して $|a_n - \alpha| < a$ を満たす。したがって、イには「すべての」が入る。

ウ：三角不等式 $|x+y| \le |x| + |y|$ より、

$|a_{2n} - \alpha + \alpha - a_{2n+1}| \le |a_{2n} - \alpha| + |\alpha - a_{2n+1}| = |a_{2n} - \alpha| + |a_{2n+1} - \alpha|$.

問題文では $|a_{2n} - \alpha| + |a_{2n+1} - \alpha| = |a_{2n} - \alpha| + |\alpha - a_{2n+1}|$ となっているので、$|a_{2n} - \alpha| + |a_{2n+1} - \alpha|$ に近い形となるように、三角不等式 $|x+y| \ge ||x| - |y||$　を考えると

$|a_{2n} - a_{2n+1}| = |(a_{2n} - \alpha) - (a_{2n+1} - \alpha)| \le |a_{2n} - \alpha| + |- (a_{2n+1} - \alpha)| = |a_{2n} - \alpha| + |a_{2n+1} - \alpha|$

となる。

したがって、ウには不等号ではなく等号を表す「$=$」が入る。

エ：$a_{2n} = (-1)^{2n} a = a$ であり、$a_{2n+1} = (-1)^{2n+1} a = -a$ であるから、

$|a_{2n} - a_{2n+1}| = |a - (-a)| = |2a| = 2a$.

したがって、エには $2a$ が入る。

3. 最終的な答え

ア: ある

イ: すべての

ウ: $=$

エ: $2a$