与えられた積分の問題を解きます。積分は $\int \frac{x}{x^2 - 1} dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた積分の問題を解きます。積分は

$\int \frac{x}{x^2 - 1} dx$

です。

2. 解き方の手順

この積分を解くために、置換積分を使用します。

$u = x^2 - 1$ と置くと、$du = 2x dx$ となります。

したがって、$x dx = \frac{1}{2} du$ となります。

元の積分を $u$ で書き換えると、

$\int \frac{x}{x^2 - 1} dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du$

となります。

$\int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C$ なので、

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln |u| + C$

となります。

最後に、$u$ を $x^2 - 1$ に戻すと、

$\frac{1}{2} \ln |x^2 - 1| + C$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \ln |x^2 - 1| + C$