関数 $f(x) = \sqrt{7x-3} - 1$ について、以下の問題を解く。 (1) $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求める。 (2) 曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = x$ の交点の座標を求める。 (3) 不等式 $f^{-1}(x) \leq f(x)$ を解く。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sqrt{7x-3} - 1$ について、以下の問題を解く。

(1) $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求める。

(2) 曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = x$ の交点の座標を求める。

(3) 不等式 $f^{-1}(x) \leq f(x)$ を解く。

2. 解き方の手順

(1) 逆関数 $f^{-1}(x)$ の求め方

まず、$y = f(x) = \sqrt{7x-3} - 1$ とする。

$x$ と $y$ を入れ替える。

$x = \sqrt{7y-3} - 1$

$x + 1 = \sqrt{7y-3}$

両辺を2乗する。

$(x+1)^2 = 7y - 3$

$7y = (x+1)^2 + 3$

$y = \frac{(x+1)^2 + 3}{7}$

したがって、$f^{-1}(x) = \frac{(x+1)^2 + 3}{7}$

定義域を考慮する。

$f(x)$ の定義域は $7x - 3 \geq 0$ より、$x \geq \frac{3}{7}$

$f(x)$ の値域は $y \geq -1$

$f^{-1}(x)$ の定義域は $x \geq -1$

(2) 交点の座標の求め方

$y = f(x)$ と $y = x$ の交点の座標は、$f(x) = x$ を満たす $x$ を求めればよい。

$\sqrt{7x-3} - 1 = x$

$\sqrt{7x-3} = x + 1$

両辺を2乗する。

$7x - 3 = (x+1)^2$

$7x - 3 = x^2 + 2x + 1$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

$(x-1)(x-4) = 0$

$x = 1, 4$

$x = 1$ のとき、$\sqrt{7(1)-3} - 1 = \sqrt{4} - 1 = 2 - 1 = 1$

$x = 4$ のとき、$\sqrt{7(4)-3} - 1 = \sqrt{25} - 1 = 5 - 1 = 4$

よって、交点の座標は $(1, 1)$ と $(4, 4)$

(3) 不等式 $f^{-1}(x) \leq f(x)$ の解き方

$f^{-1}(x) \leq f(x)$ を解く。

$f(1) = 1$, $f(4) = 4$ であり、$y=x$ が境界になっていると考えられる。

$f^{-1}(x) \leq f(x)$ は、$f^{-1}(x) \leq x$ かつ $x \leq f(x)$ と同値である。

$f^{-1}(x) = \frac{(x+1)^2 + 3}{7}$

$\frac{(x+1)^2 + 3}{7} \leq x$

$(x+1)^2 + 3 \leq 7x$

$x^2 + 2x + 1 + 3 \leq 7x$

$x^2 - 5x + 4 \leq 0$

$(x-1)(x-4) \leq 0$

$1 \leq x \leq 4$

$x \geq -1$ を考慮すると、$1 \leq x \leq 4$

3. 最終的な答え

(1) $f^{-1}(x) = \frac{(x+1)^2 + 3}{7}$ (定義域 $x \geq -1$)

(2) 交点の座標は $(1, 1)$ と $(4, 4)$

(3) 不等式 $f^{-1}(x) \leq f(x)$ の解は $1 \leq x \leq 4$