与えられた積分 $\int \frac{e^x}{e^x - 1} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{e^x}{e^x - 1} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、置換積分法を用います。$u = e^x - 1$ と置くと、$\frac{du}{dx} = e^x$ となります。したがって、$du = e^x dx$ となります。

これにより、積分は以下のように書き換えられます。

$\int \frac{e^x}{e^x - 1} dx = \int \frac{1}{u} du$

$\int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C$

ここで、$u = e^x - 1$ を代入すると、

$\ln |e^x - 1| + C$

$e^x$は常に正であり、$x=0$以外では$e^x - 1 \neq 0$なので、

$\ln |e^x - 1| + C$

3. 最終的な答え

$\ln |e^x - 1| + C$