与えられた関数を微分する問題です。今回は、問題(6) $y = \frac{x^3 - 4x + 1}{x-2}$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。今回は、問題(6) $y = \frac{x^3 - 4x + 1}{x-2}$ を解きます。

2. 解き方の手順

商の微分公式を使います。商の微分公式は、関数 $y = \frac{u(x)}{v(x)}$ のとき、

$\frac{dy}{dx} = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$

で与えられます。

この問題では、$u(x) = x^3 - 4x + 1$ 、 $v(x) = x-2$ とおきます。

まず、$u(x)$ と $v(x)$ を微分します。

$u'(x) = 3x^2 - 4$

$v'(x) = 1$

次に、商の微分公式に代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(3x^2 - 4)(x-2) - (x^3 - 4x + 1)(1)}{(x-2)^2}$

分子を展開して整理します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{3x^3 - 6x^2 - 4x + 8 - x^3 + 4x - 1}{(x-2)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x^3 - 6x^2 + 7}{(x-2)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x^3 - 6x^2 + 7}{(x-2)^2}$