与えられた数列の極限を求める問題です。 $\lim_{n\to\infty} \frac{(n^2 + 2)(n^2 - n + 4)}{6n^4 - n^3 - n^2 + 1}$

1. 問題の内容

与えられた数列の極限を求める問題です。

$\lim_{n\to\infty} \frac{(n^2 + 2)(n^2 - n + 4)}{6n^4 - n^3 - n^2 + 1}$

2. 解き方の手順

分子を展開し、分母と分子を$n^4$で割ります。

分子を展開すると以下のようになります。

$(n^2 + 2)(n^2 - n + 4) = n^4 - n^3 + 4n^2 + 2n^2 - 2n + 8 = n^4 - n^3 + 6n^2 - 2n + 8$

したがって、

$\lim_{n\to\infty} \frac{(n^2 + 2)(n^2 - n + 4)}{6n^4 - n^3 - n^2 + 1} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^4 - n^3 + 6n^2 - 2n + 8}{6n^4 - n^3 - n^2 + 1}$

分母と分子を$n^4$で割ると、

$\lim_{n\to\infty} \frac{1 - \frac{1}{n} + \frac{6}{n^2} - \frac{2}{n^3} + \frac{8}{n^4}}{6 - \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^4}}$

$n \to \infty$のとき、$\frac{1}{n}, \frac{1}{n^2}, \frac{1}{n^3}, \frac{1}{n^4}$は0に収束します。

したがって、

$\lim_{n\to\infty} \frac{1 - \frac{1}{n} + \frac{6}{n^2} - \frac{2}{n^3} + \frac{8}{n^4}}{6 - \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^4}} = \frac{1 - 0 + 0 - 0 + 0}{6 - 0 - 0 + 0} = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6}$