数列 $\frac{7^n}{n!}$ の $n \to \infty$ のときの極限を求める問題です。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

数列 $\frac{7^n}{n!}$ の $n \to \infty$ のときの極限を求める問題です。

2. 解き方の手順

数列 $\frac{7^n}{n!}$ の極限を評価するために、比の判定法を用いることを考えます。

$a_n = \frac{7^n}{n!}$ とおくと、

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{7^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{7^n} = \frac{7}{n+1}$

となります。

$n \to \infty$ のとき、$\frac{7}{n+1} \to 0$ です。

したがって、ある番号 $N$ が存在し、$n > N$ ならば $\frac{a_{n+1}}{a_n} < 1$ となります。

つまり、$n > N$ ならば $a_{n+1} < a_n$ です。

これは、$a_n$ が $n > N$ で単調減少であることを意味します。

また、$a_n > 0$ であることは明らかです。

単調減少で下に有界な数列は収束します。

したがって、$\lim_{n \to \infty} a_n$ が存在します。

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 0$ であり、$\frac{a_{n+1}}{a_n}$ は、$a_n$ が 0 に収束するよりも速く 0 に収束するので、

$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$

となります。

3. 最終的な答え

$\lim_{n \to \infty} \frac{7^n}{n!} = 0$