以下の極限を求めます。 $\lim_{n\to\infty} (\sqrt{n+2} - \sqrt{n})$

1. 問題の内容

以下の極限を求めます。

$\lim_{n\to\infty} (\sqrt{n+2} - \sqrt{n})$

2. 解き方の手順

$\sqrt{n+2} - \sqrt{n}$ に $\frac{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}$ を掛けます。

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\begin{aligned}

\sqrt{n+2} - \sqrt{n} &= (\sqrt{n+2} - \sqrt{n}) \cdot \frac{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} \\

&= \frac{(n+2) - n}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} \\

&= \frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}

\end{aligned}

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したがって、

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\lim_{n\to\infty} (\sqrt{n+2} - \sqrt{n}) = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}

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$n \to \infty$ のとき、$\sqrt{n+2} + \sqrt{n} \to \infty$ なので、

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\lim_{n\to\infty} \frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} = 0

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3. 最終的な答え

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