与えられた極限を計算する問題です。 (1) $\lim_{x\to\infty} (1+\frac{1}{x})^{2x}$ (4) $\lim_{x\to\infty} (1+\frac{1}{2x+1})^{x}$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。

(1) $\lim_{x\to\infty} (1+\frac{1}{x})^{2x}$

(4) $\lim_{x\to\infty} (1+\frac{1}{2x+1})^{x}$

2. 解き方の手順

(1)

自然対数の底 $e$ の定義を利用します。

$e = \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$

よって、

$\lim_{x\to\infty} (1+\frac{1}{x})^{2x} = \lim_{x\to\infty} \left((1+\frac{1}{x})^x\right)^2 = \left(\lim_{x\to\infty} (1+\frac{1}{x})^x\right)^2 = e^2$

(4)

$t = 2x+1$ と置くと、$x \to \infty$ のとき $t \to \infty$ であり、$x = \frac{t-1}{2}$ となります。

よって、

$\lim_{x\to\infty} (1+\frac{1}{2x+1})^{x} = \lim_{t\to\infty} (1+\frac{1}{t})^{\frac{t-1}{2}} = \lim_{t\to\infty} \left((1+\frac{1}{t})^{t}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot (1+\frac{1}{t})^{-\frac{1}{2}}$

ここで、$e = \lim_{t \to \infty} (1 + \frac{1}{t})^t$ より、

$\lim_{t\to\infty} \left((1+\frac{1}{t})^{t}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot (1+\frac{1}{t})^{-\frac{1}{2}} = \left(\lim_{t\to\infty} (1+\frac{1}{t})^{t}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot \lim_{t\to\infty} (1+\frac{1}{t})^{-\frac{1}{2}} = e^{\frac{1}{2}} \cdot (1+0)^{-\frac{1}{2}} = \sqrt{e} \cdot 1 = \sqrt{e}$

3. 最終的な答え

(1) $e^2$

(4) $\sqrt{e}$