次の極限を計算する問題です。 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x}$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

次の極限を計算する問題です。

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x}$

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、三角関数の倍角の公式と、基本的な極限の知識を利用します。

ステップ1: 倍角の公式を利用

$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ を用いると、$1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$ となります。

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 x}{x}$

ステップ2: 極限の形を整える

$\frac{\sin x}{x}$ の極限の形を作るために、$2\sin^2 x$ を $2 \sin x \cdot \sin x$ と分解し、分母に $x$ を加えます。

$\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 x}{x} = \lim_{x \to 0} 2 \sin x \cdot \frac{\sin x}{x}$

ステップ3: 極限を計算する

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ と $\lim_{x \to 0} \sin x = 0$ を利用します。

$\lim_{x \to 0} 2 \sin x \cdot \frac{\sin x}{x} = 2 \cdot \lim_{x \to 0} \sin x \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 2 \cdot 0 \cdot 1 = 0$

3. 最終的な答え

したがって、求める極限は0です。

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x} = 0$