与えられた極限を計算します。 $$ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+1}{n} \right)^{n+5} $$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+1}{n} \right)^{n+5}$$

2. 解き方の手順

与えられた極限を計算するために、以下の手順に従います。

まず、$\frac{n+1}{n}$ を $1 + \frac{1}{n}$ と書き換えます。したがって、

$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+1}{n} \right)^{n+5} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n+5}$$

指数法則により、

$$\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n+5} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{5}$$

ここで、$\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} = e$ であり、$\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{5} = (1 + 0)^{5} = 1$ です。したがって、

$$\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{5} = e \cdot 1 = e$$

3. 最終的な答え

$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+1}{n} \right)^{n+5} = e$$