与えられた関数 $y = \sin^{-1}3x$, $y = \sin^{-1}\frac{x}{3}$, $y = \cos^{-1}3x$, $y = \cos^{-1}\frac{x}{3}$ の微分を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \sin^{-1}3x$, $y = \sin^{-1}\frac{x}{3}$, $y = \cos^{-1}3x$, $y = \cos^{-1}\frac{x}{3}$ の微分を計算する問題です。

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin^{-1}3x$ の微分

$u = 3x$ とおくと、$y = \sin^{-1}u$ です。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$ であり、$\frac{du}{dx} = 3$ です。

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot 3 = \frac{3}{\sqrt{1-(3x)^2}} = \frac{3}{\sqrt{1-9x^2}}$

(2) $y = \sin^{-1}\frac{x}{3}$ の微分

$u = \frac{x}{3}$ とおくと、$y = \sin^{-1}u$ です。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$ であり、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{3}$ です。

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3\sqrt{1-(\frac{x}{3})^2}} = \frac{1}{3\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}} = \frac{1}{3\sqrt{\frac{9-x^2}{9}}} = \frac{1}{3 \cdot \frac{\sqrt{9-x^2}}{3}} = \frac{1}{\sqrt{9-x^2}}$

(3) $y = \cos^{-1}3x$ の微分

$u = 3x$ とおくと、$y = \cos^{-1}u$ です。

$\frac{dy}{du} = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$ であり、$\frac{du}{dx} = 3$ です。

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot 3 = -\frac{3}{\sqrt{1-(3x)^2}} = -\frac{3}{\sqrt{1-9x^2}}$

(4) $y = \cos^{-1}\frac{x}{3}$ の微分

$u = \frac{x}{3}$ とおくと、$y = \cos^{-1}u$ です。

$\frac{dy}{du} = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$ であり、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{3}$ です。

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{3\sqrt{1-(\frac{x}{3})^2}} = -\frac{1}{3\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}} = -\frac{1}{3\sqrt{\frac{9-x^2}{9}}} = -\frac{1}{3 \cdot \frac{\sqrt{9-x^2}}{3}} = -\frac{1}{\sqrt{9-x^2}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{3}{\sqrt{1-9x^2}}$

(2) $y' = \frac{1}{\sqrt{9-x^2}}$

(3) $y' = -\frac{3}{\sqrt{1-9x^2}}$

(4) $y' = -\frac{1}{\sqrt{9-x^2}}$