与えられた積分 $\int xa^x dx$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int xa^x dx$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を使って解きます。部分積分の公式は $\int u dv = uv - \int v du$ です。

ここでは、以下のように $u$ と $dv$ を選びます。

$u = x$, $dv = a^x dx$

すると、$du = dx$ となり、$v = \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}$ となります。

したがって、部分積分の公式に当てはめると、

$\int xa^x dx = x \cdot \frac{a^x}{\ln a} - \int \frac{a^x}{\ln a} dx$

$= \frac{xa^x}{\ln a} - \frac{1}{\ln a} \int a^x dx$

$= \frac{xa^x}{\ln a} - \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{a^x}{\ln a} + C$

$= \frac{xa^x}{\ln a} - \frac{a^x}{(\ln a)^2} + C$

$= \frac{a^x}{\ln a} (x - \frac{1}{\ln a}) + C$

3. 最終的な答え

$\int xa^x dx = \frac{a^x}{\ln a} (x - \frac{1}{\ln a}) + C$