与えられた関数 $f(x)$ について、$f(1)$ の値を求め、さらに $y=f(x)$ のグラフの概形として最も適切なものを選択する。 関数は以下のように定義されています。 $f(x) = \begin{cases} x+19 & (0 < x \le 1) \\ -x^2 + 3x + 18 & (1 < x < 6) \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ について、$f(1)$ の値を求め、さらに $y=f(x)$ のグラフの概形として最も適切なものを選択する。

関数は以下のように定義されています。

$f(x) = \begin{cases}

x+19 & (0 < x \le 1) \\

-x^2 + 3x + 18 & (1 < x < 6)

\end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、$f(1)$ の値を求めます。$f(x)$ の定義より、$0 < x \le 1$ のとき $f(x) = x+19$ なので、

$f(1) = 1 + 19 = 20$

次に、グラフの概形を考えます。

$0 < x \le 1$ のとき、$f(x) = x+19$ なので、これは傾き1の直線の一部です。$x$ が0に近いとき、$f(x)$ は19に近い値を取り、 $x=1$ のとき $f(1)=20$ となります。

$1 < x < 6$ のとき、$f(x) = -x^2 + 3x + 18$ なので、これは上に凸な放物線の一部です。

$x=1$ のとき、$f(1) = -1^2 + 3(1) + 18 = -1 + 3 + 18 = 20$

したがって、$x=1$ で関数は連続です。

また、$f(x) = -x^2 + 3x + 18 = -(x^2 - 3x) + 18 = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} + 18 = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{81}{4}$

であるから、軸は $x = \frac{3}{2}$ 、頂点の $y$ 座標は $\frac{81}{4} = 20.25$ となります。

$x=6$ のとき、$f(6) = -6^2 + 3(6) + 18 = -36 + 18 + 18 = 0$

したがって、グラフは $x=1$ で $y=20$ を通り、$1<x<6$ で上に凸の放物線を描き、$x=6$ で $y=0$ となるグラフです。

選択肢のグラフを見ると、①が最も適切です。

3. 最終的な答え

$f(1) = 20$

グラフの概形は ①