次の極限を求める問題です。ただし、$x > 0$ です。 $$\lim_{n \to \infty} n(\sqrt[n]{x} - 1)$$

1. 問題の内容

次の極限を求める問題です。ただし、$x > 0$ です。

$$\lim_{n \to \infty} n(\sqrt[n]{x} - 1)$$

2. 解き方の手順

まず、$y = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$ とおきます。

ここで、対数を取り、$\ln y = \frac{1}{n} \ln x$ となります。

次に、$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n} \to 0$ となるので、$\ln y = \frac{\ln x}{n} \to 0$ となります。

したがって、$n \to \infty$ のとき、$y \to e^0 = 1$ となります。

ここで、$t = \frac{1}{n}$ とおくと、$n \to \infty$ のとき、$t \to 0$ となります。

元の式は、$\lim_{t \to 0} \frac{x^t - 1}{t}$ と書き換えられます。

ここで、$f(t) = x^t$ とおくと、$f(0) = x^0 = 1$ となります。

したがって、$\lim_{t \to 0} \frac{x^t - 1}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{f(t) - f(0)}{t - 0} = f'(0)$ となります。

$f(t) = x^t = e^{t \ln x}$ なので、$f'(t) = (\ln x) e^{t \ln x} = (\ln x) x^t$ となります。

したがって、$f'(0) = (\ln x) x^0 = \ln x$ となります。

3. 最終的な答え

$\ln x$