関数 $y = \frac{1-x+x^2}{1+x-x^2}$ の極値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1-x+x^2}{1+x-x^2}$ の極値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $y$を$x$で微分し、$y'$を計算します。

(2) $y' = 0$となる$x$の値を求めます。これらの値は極値の候補となります。

(3) $y'$の符号の変化を調べ、極大値、極小値を判定します。

(4) それぞれの$x$の値に対する$y$の値を計算します。

まず、$y'$を計算します。

$u = 1-x+x^2$, $v = 1+x-x^2$と置くと、$y = \frac{u}{v}$より、

$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u' = -1 + 2x$

$v' = 1 - 2x$

したがって、

$y' = \frac{(-1+2x)(1+x-x^2) - (1-x+x^2)(1-2x)}{(1+x-x^2)^2}$

$y' = \frac{(-1-x+x^2+2x+2x^2-2x^3) - (1-2x-x+2x^2+x^2-2x^3)}{(1+x-x^2)^2}$

$y' = \frac{-1+x+3x^2-2x^3 - (1-3x+3x^2-2x^3)}{(1+x-x^2)^2}$

$y' = \frac{-2+4x}{(1+x-x^2)^2}$

次に、$y' = 0$となる$x$を求めます。

$y' = 0$となるのは、$-2+4x = 0$のときなので、$x = \frac{1}{2}$

$x = \frac{1}{2}$のとき、$1+x-x^2 = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{5}{4} > 0$ なので、$x = \frac{1}{2}$は定義域に含まれます。

$x < \frac{1}{2}$のとき、$y' < 0$

$x > \frac{1}{2}$のとき、$y' > 0$

したがって、$x = \frac{1}{2}$で極小値をとります。

$x = \frac{1}{2}$のとき、$y = \frac{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}} = \frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

極小値：$x = \frac{1}{2}$ のとき $y = \frac{3}{5}$

極大値はありません。