関数 $y = x^{\frac{1}{2}}(1-x)^{\frac{1}{2}}$ の極値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = x^{\frac{1}{2}}(1-x)^{\frac{1}{2}}$ の極値を求めよ。

2. 解き方の手順

関数 $y$ の極値を求めるために、まず $y$ を $x$ で微分し、$y'=0$ となる $x$ を見つけます。次に、$y''$を計算し、$y'=0$となる$x$における$y''$の符号を調べることで、極大値か極小値かを判断します。

まず、与えられた関数を微分します。積の微分法を用いると、

$y' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}(1-x)^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}(1-x)^{-\frac{1}{2}}(-1)$

$y' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}(1-x)^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}(1-x)^{-\frac{1}{2}}$

$y' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}(1-x)^{-\frac{1}{2}} [(1-x)-x]$

$y' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}(1-x)^{-\frac{1}{2}}(1-2x)$

$y'=0$ となる $x$ を求めるために、$1-2x=0$ とすると、$x = \frac{1}{2}$。

次に、$y''$を計算します。

$y' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}(1-x)^{-\frac{1}{2}}(1-2x)$ をさらに微分します。積の微分法を用いると少し複雑になりますが、計算できます。ここでは、$x=\frac{1}{2}$の近傍での符号のみわかればよいので、$x=\frac{1}{2}$のときの$y''$の符号を計算します。

$x=\frac{1}{2}$の近傍において、$x^{-\frac{1}{2}}$と$(1-x)^{-\frac{1}{2}}$は正の値をとりますので、$1-2x$の部分の符号変化に着目します。$x<\frac{1}{2}$のとき$1-2x>0$、$x>\frac{1}{2}$のとき$1-2x<0$となります。したがって、$y'$は$x=\frac{1}{2}$で正から負に変化するため、$x=\frac{1}{2}$で極大値をとることがわかります。

$x=\frac{1}{2}$を元の関数に代入すると、$y = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}(1-\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{1}{2}$ で極大値 $\frac{1}{2}$ をとる。