関数 $y = \sin x (1 + \cos x)$ の極値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin x (1 + \cos x)$ の極値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分します。

$y = \sin x (1 + \cos x) = \sin x + \sin x \cos x$

積の微分法を使うと、

$y' = \cos x + \cos x \cos x + \sin x (-\sin x)$

$y' = \cos x + \cos^2 x - \sin^2 x$

三角関数の恒等式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ より、$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ なので、

$y' = \cos x + \cos^2 x - (1 - \cos^2 x)$

$y' = \cos x + 2\cos^2 x - 1$

$y' = 2\cos^2 x + \cos x - 1$

次に、$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$

$(\cos x + 1)(2\cos x - 1) = 0$

したがって、$\cos x = -1$ または $\cos x = \frac{1}{2}$ です。

$\cos x = -1$ のとき、$x = (2n+1)\pi$ ($n$ は整数)

$\cos x = \frac{1}{2}$ のとき、$x = \frac{\pi}{3} + 2n\pi$ または $x = -\frac{\pi}{3} + 2n\pi$ ($n$ は整数)

次に、これらの $x$ における $y$ の値を計算します。

$x = (2n+1)\pi$ のとき、$\sin x = 0$ なので $y = 0$

$x = \frac{\pi}{3} + 2n\pi$ のとき、$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\cos x = \frac{1}{2}$ なので $y = \frac{\sqrt{3}}{2} (1 + \frac{1}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

$x = -\frac{\pi}{3} + 2n\pi$ のとき、$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\cos x = \frac{1}{2}$ なので $y = -\frac{\sqrt{3}}{2} (1 + \frac{1}{2}) = -\frac{3\sqrt{3}}{4}$

増減表を書いて確認すると、$x = (2n+1)\pi$ で極小値 0, $x = \frac{\pi}{3} + 2n\pi$ で極大値 $\frac{3\sqrt{3}}{4}$, $x = -\frac{\pi}{3} + 2n\pi$ で極小値 $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$ となります。

3. 最終的な答え

極大値: $\frac{3\sqrt{3}}{4}$

極小値: $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$, $0$