問題文は、定数関数の微分が0であること ($c' = 0$) と、$x^n$ の微分が $nx^{n-1}$ であること ($(x^n)' = nx^{n-1}$) を、導関数の定義に従って示すことを求めています。

1. 問題の内容

問題文は、定数関数の微分が0であること ($c' = 0$) と、$x^n$ の微分が $nx^{n-1}$ であること ($(x^n)' = nx^{n-1}$) を、導関数の定義に従って示すことを求めています。

2. 解き方の手順

**定数関数の微分 $c' = 0$ の証明**

導関数の定義は、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

です。

定数関数 $f(x) = c$ について、

$f(x+h) = c$

であるため、導関数は、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{c - c}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = \lim_{h \to 0} 0 = 0$

したがって、$c' = 0$ が示されました。

**$x^n$ の微分 $(x^n)' = nx^{n-1}$ の証明**

導関数の定義から、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

$f(x) = x^n$ の場合、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h}$

二項定理を用いて $(x+h)^n$ を展開します。

$(x+h)^n = x^n + nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n$

これを代入すると、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x^n + nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n) - x^n}{h}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n}{h}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} (nx^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h + \cdots + h^{n-1})$

$h \to 0$ の極限を取ると、第二項以降は全て0に収束するため、

$f'(x) = nx^{n-1}$

したがって、$(x^n)' = nx^{n-1}$ が示されました。

3. 最終的な答え

$c' = 0$ (定数関数の微分)

$(x^n)' = nx^{n-1}$