$\int \sin^3(x) dx$ を計算する問題です。積分定数は $C$ とします。

1. 問題の内容

$\int \sin^3(x) dx$ を計算する問題です。積分定数は $C$ とします。

2. 解き方の手順

$\sin^3(x)$ を $\sin(x)$ と $\sin^2(x)$ に分けます。そして、$\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$ を使って変形します。

$\sin^3(x) = \sin(x) \sin^2(x) = \sin(x) (1 - \cos^2(x))$

したがって、

$\int \sin^3(x) dx = \int \sin(x) (1 - \cos^2(x)) dx = \int (\sin(x) - \sin(x)\cos^2(x)) dx$

$\int \sin(x) dx = -\cos(x) + C_1$

ここで、$u = \cos(x)$ と置換すると、$du = -\sin(x) dx$ より、

$\int \sin(x)\cos^2(x) dx = -\int \cos^2(x) (-\sin(x)) dx = -\int u^2 du = -\frac{u^3}{3} + C_2 = -\frac{\cos^3(x)}{3} + C_2$

したがって、

$\int \sin^3(x) dx = \int \sin(x) dx - \int \sin(x)\cos^2(x) dx = -\cos(x) - (-\frac{\cos^3(x)}{3}) + C = -\cos(x) + \frac{\cos^3(x)}{3} + C$

3. 最終的な答え

$-\cos(x) + \frac{\cos^3(x)}{3} + C$