与えられた関数 $y = \frac{1}{\sqrt{x^2+x}}$ の微分 $y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{1}{\sqrt{x^2+x}}$ の微分 $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数を $y = (x^2+x)^{-\frac{1}{2}}$ と書き換えます。

次に、合成関数の微分公式（チェーンルール）を適用します。

チェーンルールとは、$y = f(u)$ かつ $u = g(x)$ のとき、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ が成り立つというものです。

$u = x^2 + x$ とすると、$y = u^{-\frac{1}{2}}$ となります。

したがって、

$\frac{dy}{du} = -\frac{1}{2}u^{-\frac{3}{2}}$

$\frac{du}{dx} = 2x + 1$

となります。

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{1}{2}u^{-\frac{3}{2}} \cdot (2x+1)$

$= -\frac{1}{2}(x^2+x)^{-\frac{3}{2}}(2x+1)$

$= -\frac{2x+1}{2(x^2+x)^{\frac{3}{2}}}$

$= -\frac{2x+1}{2\sqrt{(x^2+x)^3}}$

3. 最終的な答え

$y' = -\frac{2x+1}{2\sqrt{(x^2+x)^3}}$