放物線 $C_1: y = -x^2 + 2x$ 上の点 $P(a, -a^2 + 2a)$ における接線 $l_1$ の方程式を求め、原点 $O$ における $C_1$ の接線 $l_2$ との交点 $Q$ の座標を求めます。次に、直線 $x = \frac{I}{O}a$、接線 $l_2$ および $C_1$ で囲まれた図形の面積 $S_1$ を求めます。さらに、放物線 $C_2: y = px^2 + qx + r$ が3点 $O, P, Q$ を通るときの $p, q, r$ を求め、このとき $C_1$ と $C_2$ で囲まれた図形の面積 $S_2$ を求めます。最後に、$S_2$ が $S_1$ の何倍になるかを求めます。

1. 問題の内容

放物線 $C_1: y = -x^2 + 2x$ 上の点 $P(a, -a^2 + 2a)$ における接線 $l_1$ の方程式を求め、原点 $O$ における $C_1$ の接線 $l_2$ との交点 $Q$ の座標を求めます。次に、直線 $x = \frac{I}{O}a$、接線 $l_2$ および $C_1$ で囲まれた図形の面積 $S_1$ を求めます。さらに、放物線 $C_2: y = px^2 + qx + r$ が3点 $O, P, Q$ を通るときの $p, q, r$ を求め、このとき $C_1$ と $C_2$ で囲まれた図形の面積 $S_2$ を求めます。最後に、$S_2$ が $S_1$ の何倍になるかを求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$C_1: y = -x^2 + 2x$ を微分すると、$y' = -2x + 2$ となります。点 $P(a, -a^2 + 2a)$ における接線 $l_1$ の傾きは $y'(a) = -2a + 2$ です。したがって、$l_1$ の方程式は、

$y - (-a^2 + 2a) = (-2a + 2)(x - a)$

$y = (-2a + 2)x - 2a^2 + 2a + a^2 - 2a$

$y = (-2a + 2)x + a^2$

よって、ア = 2, イ = 2, ウ = $a^2$ です。

原点 $O$ における接線 $l_2$ は、$x = 0$ を $y' = -2x + 2$ に代入して、$y'(0) = 2$ より、$y = 2x$ となります。

$l_1$ と $l_2$ の交点 $Q$ は、

$(-2a + 2)x + a^2 = 2x$

$(-2a)x + a^2 = 0$

$x = \frac{a^2}{2a} = \frac{a}{2}$

$y = 2x = 2 \cdot \frac{a}{2} = a$

よって、$Q(\frac{a}{2}, a)$ なので、エ = 1, オ = 2 です。

(2)

直線 $x = \frac{1}{2}a$、接線 $l_2: y = 2x$ および $C_1: y = -x^2 + 2x$ で囲まれた図形の面積 $S_1$ は、

$S_1 = \int_0^{\frac{a}{2}} (-x^2 + 2x - 2x) dx = \int_0^{\frac{a}{2}} -x^2 dx = \left[-\frac{x^3}{3}\right]_0^{\frac{a}{2}} = -\frac{a^3}{24}$

面積なので絶対値を取り、

$S_1 = \frac{a^3}{24}$

よって、カ = 3, キク = 24 です。

(3)

$C_2: y = px^2 + qx + r$ が3点 $O(0, 0), P(a, -a^2 + 2a), Q(\frac{a}{2}, a)$ を通るので、

$O(0, 0)$ を通ることから、$0 = p \cdot 0^2 + q \cdot 0 + r$ より、$r = 0$

$P(a, -a^2 + 2a)$ を通ることから、$-a^2 + 2a = pa^2 + qa$

$Q(\frac{a}{2}, a)$ を通ることから、$a = p(\frac{a}{2})^2 + q(\frac{a}{2})$ より、$a = \frac{pa^2}{4} + \frac{qa}{2}$

両辺を $a$ で割ると、$1 = \frac{pa}{4} + \frac{q}{2}$ より、$q = 2 - \frac{pa}{2}$

これを $-a^2 + 2a = pa^2 + qa$ に代入すると、$-a^2 + 2a = pa^2 + (2 - \frac{pa}{2})a = pa^2 + 2a - \frac{pa^2}{2}$

$-a^2 = pa^2 - \frac{pa^2}{2} = \frac{pa^2}{2}$

$p = -2$

$q = 2 - \frac{pa}{2} = 2 - \frac{-2a}{2} = 2 + a$

したがって、$p = -2$, $q = a + 2$, $r = 0$ なので、ケコ = -2, サ = 2, シ = 0 です。

$C_1: y = -x^2 + 2x$ と $C_2: y = -2x^2 + (a + 2)x$ で囲まれた図形の面積 $S_2$ は、

$S_2 = \int_0^a (-x^2 + 2x - (-2x^2 + (a + 2)x)) dx = \int_0^a (x^2 - ax) dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{ax^2}{2}\right]_0^a = \frac{a^3}{3} - \frac{a^3}{2} = -\frac{a^3}{6}$

面積なので絶対値を取り、

$S_2 = \frac{a^3}{6}$

よって、ス = 3, セ = 6 です。

$S_2 = \frac{a^3}{6} = 4 \cdot \frac{a^3}{24} = 4S_1$

したがって、ソ = 4 です。

3. 最終的な答え

ア = 2

イ = 2

ウ = $a^2$

エ = 1

オ = 2

カ = 3

キク = 24

ケコ = -2

サ = 2

シ = 0

ス = 3

セ = 6

ソ = 4