$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

$x-1$を $(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$ と因数分解できることを利用して、極限を計算します。

まず、$x-1 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)$ であることを用いて、与えられた式を変形します。

$\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}$

$x \neq 1$のとき、$\sqrt{x} - 1 \neq 0$ なので、約分できます。

$\frac{\sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{x} + 1}$

したがって、

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x} + 1}$

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x} + 1}$ は $x=1$ で連続なので、

$\lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$