正の実数 $a$ に対し、数列 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ を $a_n = (-1)^n a$ で定義する。このとき、数列 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ が収束しないことを示す証明において、空欄ア〜エに適切な選択肢を選ぶ問題です。

1. 問題の内容

正の実数 $a$ に対し、数列 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ を $a_n = (-1)^n a$ で定義する。このとき、数列 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ が収束しないことを示す証明において、空欄ア〜エに適切な選択肢を選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

数列 $\{a_n\}$ が収束すると仮定し、矛盾を導くことによって、数列が収束しないことを証明します。

ア：数列 $\{a_n\}$ が $\alpha$ に収束すると仮定すると、任意の正の実数 $\epsilon$ に対して、ある自然数 $N$ が存在して、$N$ 以上の全ての自然数 $n$ に対して $|a_n - \alpha| < \epsilon$ が成り立つ必要があります。したがって、空欄アには「ある」が入ります。

イ：空欄イには、「全ての」が入ります。なぜなら、$N$ 以上の全ての自然数 $n$ で、$|a_n - \alpha| < a$を満たす必要があるからです。

次に、$|a_{2n} - \alpha| + |a_{2n+1} - \alpha| < a + a = 2a$ が得られます。

一方、すべての自然数 $n$ に対して、実数の絶対値の三角不等式より、$|a_{2n} - \alpha + \alpha - a_{2n+1}| \leq |a_{2n} - \alpha| + |\alpha - a_{2n+1}| = |a_{2n} - \alpha| + |a_{2n+1} - \alpha|$ が成り立ちます。したがって、ウには$\leq$が入ります。

$|a_{2n} - a_{2n+1}| = |(-1)^{2n}a - (-1)^{2n+1}a| = |a - (-a)| = |2a| = 2a$ となります。したがって、エには $2a$ が入ります。

すると、$2a \leq |a_{2n}-\alpha|+|a_{2n+1}-\alpha|< 2a$ となり、矛盾が生じる。

3. 最終的な答え

ア：ある

イ：全ての

ウ：$\leq$

エ：$2a$