問題は2つあります。 (1) 関数 $y = x^3 + ax^2 + 2ax + 4$ が極値を持つような $a$ の値の範囲を求める問題です。 (2) 次の接線の方程式を求める問題です。 (i) $y = x^3 - x$ 上の点 $(-1, 0)$ における接線の方程式を求める問題です。 (ii) $y = x^3 - 4x^2 + 2x + 3$ において、傾きが $2$ の接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 関数 $y = x^3 + ax^2 + 2ax + 4$ が極値を持つような $a$ の値の範囲を求める問題です。

(2) 次の接線の方程式を求める問題です。

(i) $y = x^3 - x$ 上の点 $(-1, 0)$ における接線の方程式を求める問題です。

(ii) $y = x^3 - 4x^2 + 2x + 3$ において、傾きが $2$ の接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)

関数 $y = x^3 + ax^2 + 2ax + 4$ が極値を持つための条件は、$y' = 0$ となる $x$ が異る2つ存在することです。

$y'$ を計算します。

$y' = 3x^2 + 2ax + 2a$

$y' = 0$ となる $x$ が異る2つ存在するための条件は、$y' = 0$ の判別式 $D > 0$ であることです。

$D = (2a)^2 - 4(3)(2a) = 4a^2 - 24a = 4a(a - 6) > 0$

$a(a - 6) > 0$

よって、$a < 0$ または $a > 6$ となります。

(2) (i)

関数 $y = x^3 - x$ の微分 $y'$ を計算します。

$y' = 3x^2 - 1$

$x = -1$ における傾きは、$y'(-1) = 3(-1)^2 - 1 = 3 - 1 = 2$

よって、点 $(-1, 0)$ における接線の方程式は、

$y - 0 = 2(x - (-1))$

$y = 2x + 2$

(2) (ii)

関数 $y = x^3 - 4x^2 + 2x + 3$ の微分 $y'$ を計算します。

$y' = 3x^2 - 8x + 2$

傾きが2なので、$y' = 2$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 8x + 2 = 2$

$3x^2 - 8x = 0$

$x(3x - 8) = 0$

$x = 0$ または $x = \frac{8}{3}$

$x = 0$ のとき、$y = 0^3 - 4(0)^2 + 2(0) + 3 = 3$

接線の方程式は、$y - 3 = 2(x - 0)$

$y = 2x + 3$

$x = \frac{8}{3}$ のとき、$y = (\frac{8}{3})^3 - 4(\frac{8}{3})^2 + 2(\frac{8}{3}) + 3 = \frac{512}{27} - \frac{256}{9} + \frac{16}{3} + 3 = \frac{512 - 768 + 144 + 81}{27} = \frac{-31}{27}$

接線の方程式は、$y - (-\frac{31}{27}) = 2(x - \frac{8}{3})$

$y + \frac{31}{27} = 2x - \frac{16}{3}$

$y = 2x - \frac{16}{3} - \frac{31}{27} = 2x - \frac{144 + 31}{27} = 2x - \frac{175}{27}$

3. 最終的な答え

(1) $a < 0$, $a > 6$

(2) (i) $y = 2x + 2$

(2) (ii) $y = 2x - \frac{175}{27}$ と $y = 2x + 3$