$x = \cos^3 t$、 $y = \sin^3 t$ のとき、$\frac{dy}{dx}$と$\frac{d^2y}{dx^2}$を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \cos^3 t$、 $y = \sin^3 t$ のとき、$\frac{dy}{dx}$と$\frac{d^2y}{dx^2}$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{dy}{dt}$と$\frac{dx}{dt}$を計算します。

$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(\sin^3 t) = 3\sin^2 t \cdot \cos t$

$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\cos^3 t) = 3\cos^2 t \cdot (-\sin t) = -3\cos^2 t \sin t$

次に、$\frac{dy}{dx}$を計算します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3\sin^2 t \cos t}{-3\cos^2 t \sin t} = -\frac{\sin t}{\cos t} = -\tan t$

次に、$\frac{d^2y}{dx^2}$を計算します。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx}) = \frac{d}{dx}(-\tan t) = \frac{d(-\tan t)/dt}{dx/dt}$

$\frac{d(-\tan t)}{dt} = -\frac{d}{dt}(\tan t) = -\frac{1}{\cos^2 t}$

したがって、

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-\frac{1}{\cos^2 t}}{-3\cos^2 t \sin t} = \frac{1}{3\cos^4 t \sin t}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\tan t$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{3\cos^4 t \sin t}$