与えられた2つの関数を微分する問題です。 (1) $y = \frac{x}{(2x+1)^3}$ (2) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2+x}}$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数を微分する問題です。

(1) $y = \frac{x}{(2x+1)^3}$

(2) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2+x}}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{x}{(2x+1)^3}$ の微分

商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = x$, $v = (2x+1)^3$ とおくと、

$u' = 1$, $v' = 3(2x+1)^2 \cdot 2 = 6(2x+1)^2$ となります。

よって、

$y' = \frac{1 \cdot (2x+1)^3 - x \cdot 6(2x+1)^2}{(2x+1)^6} = \frac{(2x+1)^2[(2x+1) - 6x]}{(2x+1)^6} = \frac{2x+1 - 6x}{(2x+1)^4} = \frac{1-4x}{(2x+1)^4}$

(2) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2+x}}$ の微分

$y = (x^2+x)^{-\frac{1}{2}}$ と書き換えることができます。

合成関数の微分公式 $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ を用います。

$f(u) = u^{-\frac{1}{2}}$, $g(x) = x^2+x$ とおくと、

$f'(u) = -\frac{1}{2}u^{-\frac{3}{2}}$, $g'(x) = 2x+1$ となります。

よって、

$y' = -\frac{1}{2}(x^2+x)^{-\frac{3}{2}} \cdot (2x+1) = -\frac{2x+1}{2(x^2+x)^{\frac{3}{2}}} = -\frac{2x+1}{2(x^2+x)\sqrt{x^2+x}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{1-4x}{(2x+1)^4}$

(2) $y' = -\frac{2x+1}{2(x^2+x)\sqrt{x^2+x}}$