C上を動く点Pがあり、Pからx軸に垂直な線を引いた交点をH、y軸に垂直な線を引いた交点をIとする。点Pのx座標をtとする。 (i) $1 < t < 6$ のとき、PHをtで表し、四角形OIPHが正方形になるtの値を求める。 (ii) 四角形OIPHの面積をg(t)とするとき、y=g(t)のグラフの概形と、四角形OIPHの面積が最大となるtの値を求める。

1. 問題の内容

C上を動く点Pがあり、Pからx軸に垂直な線を引いた交点をH、y軸に垂直な線を引いた交点をIとする。点Pのx座標をtとする。

(i) $1 < t < 6$ のとき、PHをtで表し、四角形OIPHが正方形になるtの値を求める。

(ii) 四角形OIPHの面積をg(t)とするとき、y=g(t)のグラフの概形と、四角形OIPHの面積が最大となるtの値を求める。

2. 解き方の手順

(i) まず、PHをtで表す。C上の点Pの座標は $(t, -t^2 + 7t - 6)$ と表せるので、$PH = -t^2 + 7t - 6$ となる。したがって、

$PH = -1t^2 + 7t - 6$

次に、四角形OIPHが正方形になるのは、PH = OH = t のときなので、

$-t^2 + 7t - 6 = t$

$t^2 - 6t + 6 = 0$

$t = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = 3 \pm \sqrt{3}$

$1 < t < 6$ より、$t = 3 - \sqrt{3}$ または $t = 3 + \sqrt{3}$ である。

(ii) 四角形OIPHの面積 $g(t)$ は $g(t) = t(-t^2 + 7t - 6) = -t^3 + 7t^2 - 6t$

$g'(t) = -3t^2 + 14t - 6$

$g'(t) = 0$ となるのは、

$t = \frac{-14 \pm \sqrt{196 - 4(-3)(-6)}}{-6} = \frac{-14 \pm \sqrt{196 - 72}}{-6} = \frac{-14 \pm \sqrt{124}}{-6} = \frac{14 \pm 2\sqrt{31}}{6} = \frac{7 \pm \sqrt{31}}{3}$

$1 < t < 6$ より、両方の値が範囲に含まれる。

$g(t)$ は3次関数なので、グラフは3か4になる。

$t=1$の時$g(1) = -1+7-6=0$

$g(t) = -t(t^2-7t+6) = -t(t-1)(t-6)$

よってグラフの概形は3である。

面積が最大となるtは $t = \frac{7 - \sqrt{31}}{3}$ または $t = \frac{7 + \sqrt{31}}{3}$

$g''(t) = -6t + 14$

$t = \frac{7+\sqrt{31}}{3}$の時、$g''(t) = -6*\frac{7+\sqrt{31}}{3}+14 = -14 - 2\sqrt{31}+14=-2\sqrt{31} < 0$　極大値

$t = \frac{7-\sqrt{31}}{3}$の時、$g''(t) = -6*\frac{7-\sqrt{31}}{3}+14 = -14 + 2\sqrt{31}+14=2\sqrt{31} > 0$　極小値

よって、$t = \frac{7 + \sqrt{31}}{3}$

3. 最終的な答え

PH = $-t^2 + 7t - 6$

四角形OIPHが正方形となるのは、$t = 3 \pm \sqrt{3}$ のときである。

y=g(t)のグラフは3である。また、四角形OIPHの面積が最大となるのは、$t = \frac{7 + \sqrt{31}}{3}$ のときである。