関数 $\int_{x}^{3x} t \cos t dt$ を $x$ で微分してください。

1. 問題の内容

関数 $\int_{x}^{3x} t \cos t dt$ を $x$ で微分してください。

2. 解き方の手順

まず、積分の上端と下端が変数$x$であるため、積分区間を定数を含むように分割する必要があります。

$\int_{x}^{3x} t \cos t dt = \int_{0}^{3x} t \cos t dt - \int_{0}^{x} t \cos t dt$

次に、それぞれの積分を$x$で微分します。

$\frac{d}{dx} \int_{0}^{3x} t \cos t dt - \frac{d}{dx} \int_{0}^{x} t \cos t dt$

微積分学の基本定理より、$\frac{d}{dx} \int_{0}^{x} t \cos t dt = x \cos x$となります。

$\frac{d}{dx} \int_{0}^{3x} t \cos t dt$については、$u = 3x$と置換すると、$\frac{du}{dx} = 3$となります。

したがって、$\frac{d}{dx} \int_{0}^{3x} t \cos t dt = \frac{d}{du} \int_{0}^{u} t \cos t dt \cdot \frac{du}{dx} = (u \cos u) \cdot 3 = 3(3x) \cos (3x) = 9x \cos (3x)$

したがって、

$\frac{d}{dx} \int_{x}^{3x} t \cos t dt = 9x \cos (3x) - x \cos x$

3. 最終的な答え

$9x \cos(3x) - x \cos x$