次の関数を微分せよ。ただし、$a$ は 1 でない正の定数とする。 (1) $y = \log_a(\cos x)$ (2) $y = \log_a \left| \frac{2x-1}{2x+1} \right|$

1. 問題の内容

次の関数を微分せよ。ただし、$a$ は 1 でない正の定数とする。

(1) $y = \log_a(\cos x)$

(2) $y = \log_a \left| \frac{2x-1}{2x+1} \right|$

2. 解き方の手順

(1) $y = \log_a(\cos x)$

対数関数の微分公式 $\frac{d}{dx} \log_a x = \frac{1}{x \ln a}$ と合成関数の微分法を用いる。

まず、$\cos x$ を $u$ とおくと、$y = \log_a u$ となる。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u \ln a} = \frac{1}{\cos x \ln a}$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (\cos x) = -\sin x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{\cos x \ln a} \cdot (-\sin x) = -\frac{\sin x}{\cos x \ln a} = -\frac{1}{\ln a} \tan x$

(2) $y = \log_a \left| \frac{2x-1}{2x+1} \right|$

対数の性質を用いて式を簡単にする。

$y = \log_a |2x-1| - \log_a |2x+1|$

対数関数の微分公式 $\frac{d}{dx} \log_a |x| = \frac{1}{x \ln a}$ と合成関数の微分法を用いる。

$\frac{d}{dx} \log_a |2x-1| = \frac{1}{(2x-1)\ln a} \cdot 2 = \frac{2}{(2x-1)\ln a}$

$\frac{d}{dx} \log_a |2x+1| = \frac{1}{(2x+1)\ln a} \cdot 2 = \frac{2}{(2x+1)\ln a}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{(2x-1)\ln a} - \frac{2}{(2x+1)\ln a} = \frac{2}{\ln a} \left( \frac{1}{2x-1} - \frac{1}{2x+1} \right)$

$= \frac{2}{\ln a} \left( \frac{(2x+1) - (2x-1)}{(2x-1)(2x+1)} \right) = \frac{2}{\ln a} \left( \frac{2}{4x^2 - 1} \right) = \frac{4}{(4x^2 - 1) \ln a}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = -\frac{\tan x}{\ln a}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{4}{(4x^2 - 1) \ln a}$