次の関数を微分せよ。 (1) $y = 2\sin x \cos x (1 - 2\sin^2 x)$ (2) $y = (\sin x - \cos x)^2$

1. 問題の内容

次の関数を微分せよ。

(1) $y = 2\sin x \cos x (1 - 2\sin^2 x)$

(2) $y = (\sin x - \cos x)^2$

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた関数を整理します。

$2\sin x \cos x = \sin 2x$

$1 - 2\sin^2 x = \cos 2x$

したがって、$y = \sin 2x \cos 2x = \frac{1}{2} \sin 4x$

$y' = \frac{1}{2} (\sin 4x)' = \frac{1}{2} (\cos 4x) \cdot 4 = 2\cos 4x$

(2)

$y = (\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 - \sin 2x$

$y' = (1 - \sin 2x)' = -\cos 2x \cdot 2 = -2\cos 2x$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 2\cos 4x$

(2) $y' = -2\cos 2x$