方程式 $y^3 = x^2 e^x$ で定められる $x$ の関数 $y$ について、$\frac{dy}{dx}$ を求めよ。

1. 問題の内容

方程式 $y^3 = x^2 e^x$ で定められる $x$ の関数 $y$ について、$\frac{dy}{dx}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた方程式 $y^3 = x^2 e^x$ の両辺を $x$ について微分します。

左辺は $y$ が $x$ の関数であることに注意して、連鎖律を使います。右辺は積の微分法を使います。

まず、左辺を微分します。

$\frac{d}{dx}(y^3) = 3y^2 \frac{dy}{dx}$

次に、右辺を微分します。

$\frac{d}{dx}(x^2 e^x) = \frac{d}{dx}(x^2) e^x + x^2 \frac{d}{dx}(e^x) = 2x e^x + x^2 e^x$

したがって、

$3y^2 \frac{dy}{dx} = 2x e^x + x^2 e^x$

$\frac{dy}{dx}$ について解きます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{2xe^x + x^2e^x}{3y^2} = \frac{xe^x(2+x)}{3y^2}$

$y^3 = x^2e^x$ より、$y = (x^2 e^x)^{1/3}$ であるから、$y^2 = (x^2 e^x)^{2/3}$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{xe^x(2+x)}{3(x^2e^x)^{2/3}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{xe^x(x+2)}{3(x^2e^x)^{2/3}} = \frac{xe^x(x+2)}{3x^{4/3}e^{2x/3}} = \frac{x^{1-4/3}e^{x-2x/3}(x+2)}{3} = \frac{x^{-1/3}e^{x/3}(x+2)}{3} = \frac{e^{x/3}(x+2)}{3x^{1/3}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{xe^x(2+x)}{3(x^2e^x)^{2/3}} = \frac{e^{x/3}(x+2)}{3x^{1/3}}$

または、

$\frac{dy}{dx} = \frac{xe^x(2+x)}{3y^2}$