媒介変数表示された曲線 $x = \frac{1+t^2}{1-t^2}$、 $y = \frac{2t}{1-t^2}$ について、$\frac{dy}{dx}$ を $t$ の関数として表す。

1. 問題の内容

媒介変数表示された曲線 $x = \frac{1+t^2}{1-t^2}$、 $y = \frac{2t}{1-t^2}$ について、$\frac{dy}{dx}$ を $t$ の関数として表す。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ をそれぞれ $t$ で微分する。

$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{1+t^2}{1-t^2}\right) = \frac{(2t)(1-t^2) - (1+t^2)(-2t)}{(1-t^2)^2} = \frac{2t - 2t^3 + 2t + 2t^3}{(1-t^2)^2} = \frac{4t}{(1-t^2)^2}$

$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{2t}{1-t^2}\right) = \frac{(2)(1-t^2) - (2t)(-2t)}{(1-t^2)^2} = \frac{2 - 2t^2 + 4t^2}{(1-t^2)^2} = \frac{2 + 2t^2}{(1-t^2)^2} = \frac{2(1+t^2)}{(1-t^2)^2}$

次に、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ を計算する。

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{2(1+t^2)}{(1-t^2)^2}}{\frac{4t}{(1-t^2)^2}} = \frac{2(1+t^2)}{4t} = \frac{1+t^2}{2t}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1+t^2}{2t}$