2つの曲線 $y = kx^2$ と $y = \log x$ が共有点Pで共通の接線をもつとき、$k$ の値と接線 $l$ の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの曲線 $y = kx^2$ と $y = \log x$ が共有点Pで共通の接線をもつとき、$k$ の値と接線 $l$ の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、共有点Pのx座標を $t$ とします。

このとき、点Pにおけるそれぞれの曲線のy座標と接線の傾きが一致します。

(1) y座標が一致する条件

$kt^2 = \log t$ ...(1)

(2) 接線の傾きが一致する条件

$y = kx^2$ の導関数は $y' = 2kx$

$y = \log x$ の導関数は $y' = \frac{1}{x}$

したがって、

$2kt = \frac{1}{t}$ ...(2)

(3) (2)より $2kt^2 = 1$ が得られ、$kt^2 = \frac{1}{2}$ ...(3)

(4) (1)と(3)より $\log t = \frac{1}{2}$ なので、$t = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$

(5) これを(3)に代入すると $k (\sqrt{e})^2 = \frac{1}{2}$ となり、$ke = \frac{1}{2}$ より、$k = \frac{1}{2e}$

(6) 点Pの座標は $(\sqrt{e}, \frac{1}{2})$

接線の傾きは $2kt = 2 \cdot \frac{1}{2e} \cdot \sqrt{e} = \frac{1}{\sqrt{e}}$

(7) 接線 $l$ の方程式は、点 $(\sqrt{e}, \frac{1}{2})$ を通り、傾きが $\frac{1}{\sqrt{e}}$ の直線なので、

$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{e}} (x - \sqrt{e})$

$y = \frac{1}{\sqrt{e}} x - 1 + \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{\sqrt{e}} x - \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$k = \frac{1}{2e}$

接線 $l$ の方程式: $y = \frac{1}{\sqrt{e}} x - \frac{1}{2}$