$\lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{(x-\pi)^2}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{(x-\pi)^2}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、ロピタルの定理を利用します。

まず、$x = \pi + h$ とおくと、$x \to \pi$ のとき $h \to 0$ となります。

したがって、

$$$$

\lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{(x-\pi)^2} = \lim_{h \to 0} \frac{1 + \cos(\pi + h)}{h^2}

$$$$

ここで、$\cos(\pi + h) = -\cos h$ であるから、

$$$$

\lim_{h \to 0} \frac{1 + \cos(\pi + h)}{h^2} = \lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos h}{h^2}

$$$$

$h \to 0$ で、$1-\cos h \to 0$ かつ $h^2 \to 0$ なので、ロピタルの定理を用いることができます。

$$$$

\lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos h}{h^2} = \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{2h}

$$$$

$h \to 0$ で、$\sin h \to 0$ かつ $2h \to 0$ なので、再びロピタルの定理を用いることができます。

$$$$

\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{2h} = \lim_{h \to 0} \frac{\cos h}{2}

$$$$

$h \to 0$ のとき、$\cos h \to 1$ であるから、

$$$$

\lim_{h \to 0} \frac{\cos h}{2} = \frac{1}{2}

$$$$

したがって、

$$$$

\lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{(x-\pi)^2} = \frac{1}{2}

$$$$

3. 最終的な答え

1/2