$\lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{(x - \pi)^2}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{(x - \pi)^2}$ を計算します。

2. 解き方の手順

この極限を計算するために、ロピタルの定理を使用します。$x \to \pi$ のとき、$1 + \cos x \to 1 + \cos \pi = 1 - 1 = 0$ であり、$(x - \pi)^2 \to 0$ です。したがって、$\frac{0}{0}$ の不定形であるため、ロピタルの定理を適用できます。

まず、分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分: $\frac{d}{dx}(1 + \cos x) = -\sin x$

分母の微分: $\frac{d}{dx}(x - \pi)^2 = 2(x - \pi)$

したがって、

$\lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{(x - \pi)^2} = \lim_{x \to \pi} \frac{-\sin x}{2(x - \pi)}$

再び $x \to \pi$ のとき、$-\sin x \to -\sin \pi = 0$ であり、$2(x - \pi) \to 0$ です。したがって、再び $\frac{0}{0}$ の不定形であるため、ロピタルの定理をもう一度適用します。

分子の微分: $\frac{d}{dx}(-\sin x) = -\cos x$

分母の微分: $\frac{d}{dx}(2(x - \pi)) = 2$

したがって、

$\lim_{x \to \pi} \frac{-\sin x}{2(x - \pi)} = \lim_{x \to \pi} \frac{-\cos x}{2}$

$x = \pi$ を代入すると、

$\lim_{x \to \pi} \frac{-\cos x}{2} = \frac{-\cos \pi}{2} = \frac{-(-1)}{2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$