次の関数を微分する問題です。ただし、$a$ は $1$ でない正の定数とします。 (1) $y = \frac{e^{2x}}{\cos x}$ (2) $y = a^{2x^2}$

1. 問題の内容

次の関数を微分する問題です。ただし、$a$ は $1$ でない正の定数とします。

(1) $y = \frac{e^{2x}}{\cos x}$

(2) $y = a^{2x^2}$

2. 解き方の手順

(1)

$y = \frac{e^{2x}}{\cos x}$ の微分を計算します。商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

ここで、$u = e^{2x}$、$v = \cos x$ とすると、$u' = 2e^{2x}$、$v' = -\sin x$ となります。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{2e^{2x}\cos x - e^{2x}(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{2e^{2x}\cos x + e^{2x}\sin x}{\cos^2 x} = \frac{e^{2x}(2\cos x + \sin x)}{\cos^2 x}$

(2)

$y = a^{2x^2}$ の微分を計算します。まず、両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln(a^{2x^2}) = 2x^2 \ln a$

次に、両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 4x \ln a$

$\frac{dy}{dx} = y \cdot 4x \ln a = a^{2x^2} \cdot 4x \ln a = 4x a^{2x^2} \ln a$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{e^{2x}(2\cos x + \sin x)}{\cos^2 x}$

(2) $\frac{dy}{dx} = 4x a^{2x^2} \ln a$