関数 $y = \frac{(x-2)^3(x+1)}{(x-1)^2}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{(x-2)^3(x+1)}{(x-1)^2}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を $y$ とおきます。

$y = \frac{(x-2)^3(x+1)}{(x-1)^2}$

両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln \frac{(x-2)^3(x+1)}{(x-1)^2} = 3 \ln(x-2) + \ln(x+1) - 2 \ln(x-1)$

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{3}{x-2} + \frac{1}{x+1} - \frac{2}{x-1}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( \frac{3}{x-2} + \frac{1}{x+1} - \frac{2}{x-1} \right)$

$y$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-2)^3(x+1)}{(x-1)^2} \left( \frac{3}{x-2} + \frac{1}{x+1} - \frac{2}{x-1} \right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-2)^3(x+1)}{(x-1)^2} \left( \frac{3(x+1)(x-1) + (x-2)(x-1) - 2(x-2)(x+1)}{(x-2)(x+1)(x-1)} \right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-2)^2}{(x-1)^3} \left( 3(x^2 - 1) + (x^2 - 3x + 2) - 2(x^2 - x - 2) \right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-2)^2}{(x-1)^3} \left( 3x^2 - 3 + x^2 - 3x + 2 - 2x^2 + 2x + 4 \right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-2)^2}{(x-1)^3} \left( 2x^2 - x + 3 \right)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-2)^2(2x^2 - x + 3)}{(x-1)^3}$