与えられた積分の値を求めます。 積分は次の通りです。 $\int \frac{1}{\sqrt{3-2x-x^2}} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分の値を求めます。

積分は次の通りです。

$\int \frac{1}{\sqrt{3-2x-x^2}} dx$

2. 解き方の手順

まず、根号の中身を平方完成します。

$3 - 2x - x^2 = 3 - (x^2 + 2x) = 3 - (x^2 + 2x + 1 - 1) = 3 - (x+1)^2 + 1 = 4 - (x+1)^2$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - (x+1)^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{2^2 - (x+1)^2}} dx$

ここで、$x+1 = 2\sin{\theta}$ と置換します。

$dx = 2\cos{\theta} d\theta$

$\int \frac{1}{\sqrt{2^2 - (2\sin{\theta})^2}} 2\cos{\theta} d\theta = \int \frac{1}{\sqrt{4 - 4\sin^2{\theta}}} 2\cos{\theta} d\theta = \int \frac{1}{\sqrt{4(1 - \sin^2{\theta})}} 2\cos{\theta} d\theta$

$= \int \frac{1}{2\sqrt{\cos^2{\theta}}} 2\cos{\theta} d\theta = \int \frac{2\cos{\theta}}{2\cos{\theta}} d\theta = \int 1 d\theta = \theta + C$

ここで、$\sin{\theta} = \frac{x+1}{2}$ なので、$\theta = \arcsin{(\frac{x+1}{2})}$

したがって、積分結果は $\arcsin{(\frac{x+1}{2})} + C$ となります。

3. 最終的な答え

$\arcsin{\left(\frac{x+1}{2}\right)} + C$